Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
(a−1)−1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
(ab)−1 = b−1a−1.
Верны законы сокращения:
Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.