Уравнению первой степени на координатной плоскости соответствует в координатном простанстве уравнение
(14.1)
Th. 14.1 | Каждое уравнение вида (14.1) определяет в пространстве плоскость наоборот, любая плоскость в координатном пространстве может быть задана уравнением (14.1) |
Доказательство этой теоремы полностью моделирует доказательство соответсвующего утверждения для прямой на плоскости (проведите его самостоятельно, используя рис. 14.1).
Рис. 14.1 | Рис. 14.2 |
Уравнение (14.1) называется общим уравнением плоскости, вектор – нормальным вектором плоскости.
Если плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору (рис. 14.1), то ее уравнение можно записать в виде:
(14.2)
Плоскость однозначно определяется точкой и двумя векторами и (неколлинеарны). Векторы и называются направляющими векторами плоскости. Пусть – текущая точка плоскости радиус вектор точки радиус-вектор точки (рис. 14.2).
тогда и только тогда, когда векторы компланарны. А поскольку неколлинеарны, то можно разложить по этим векторам, т.е. имеет место равенство:
Учитывая, что получаем:
(14.3)
Уравнение (14.3) называется векторным уравнением плоскости.
Т.к. тоуравнение (14.3) в координатной форме принимает вид:
(14.4)
Уравнения (14.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.
Условие компланарности векторов можно выразить через смешанное произведение этих векторов: , или в координатной форме:
(14.5)
Уравнение (14.5) – уравнение плоскости, проходящей через точку с заданными направляющими векторами и
Плоскость однозначно определяется тремя точками не лежащими на одной прямой. В этом случае и – направляющие векторы плоскости Тогда из уравнения (14.5) получаем:
(14.6)
Уравнение (14.6) носит название уравнения плоскости, проходящей через три точки.
Пусть, в частности, известны точки, в которых плоскость пересекает оси координат: где (рис. 14.3) Тогда из уравнения (14.6) имеем: | Рис. 14.3 |
После раскрытия определителя получаем:
(14.7)
Уравнение (14.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
5. Корни многочлена и их кратность. Теорема Безу. Схема Горнера.