1. Скалярна проекція вектора на вісь.
Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.
Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.
Означення 1. Величиною напрямленого відрізку називається число, що позначається :
Розглянемо тепер вектори, що не обов’язково належать осі u.
| B |
| A |
Означення 2. Векторною проекцією вектора AB на вісь u називається вектор , де ортогональна проекція точки A, – отрогональна проекція точки B.
Позначимо векторну проекцію
Означення 3. Скалярною проекцією вектора на вісь u називається величина його векторної проекції
.
Теорема 1. Скалярна проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором та віссю.
Доведення. (навести доведення)
Для доведення властивостей скалярних проекцій векторів корисною є теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат.
Теорема 2. Декартові прямокутні координати є проекціями вектора на відповідні координатні осі.
Скалярна проекція має такі властивості.
Теорема 3. Скалярна проекція суми двох векторів дорівнює сумі скалярних проекцій цих векторів
.
Доведення. (навести доведення)
Теорема 4. Скалярна проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на скалярну проекцію вектора
.
2. Поняття скалярного добутку.
Означення 3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Останню рівність можна записати у вигляді
або
Звідси випливає інше означення скалярного добутку.
Означення 4. Скалярним добутком векторів та називається добуток довжини одного з векторів на скалярну проекцію другого вектора на напрямок першого.
3. Алгебраїчні та геометричні властивості скалярного добутку
Доведемо, що скалярний добуток має такі алгебраїчні властивості:
1) (властивість симетрії)
2) (дистрибутивність)
3)
4)
(навести доведення перелічених властивостей).
Зауваження. З властивостей 3) та 1) випливає, що .
Зі скалярним добутком пов’язана така геометрична властивість:
Для того щоб вектори були ортогональними (перпендикулярними) необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю (навести доведення необхідності і достатності умови).
4. Вираз скалярного добутку через координати векторів
Означення. Базис простору (площини) називається ортонормованим, якщо він складається з попарно ортогональних векторів, довжина яких дорівнює одиниці.
Нехай в просторі введено ортонормований базис , тобто
нехай далі вектори і мають координати , відповідно.
Теорема. Скалярний добуток в ортонормованому базисі дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів і , тобто