Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та .
Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.
За означенням протилежного вектора :
За означенням протилежного вектора :
Згідно із припущенням, та є різними векторами. Прийшли до суперечності до означення внутрішньої операції.
Властивість доведено.
Надалі для зручності позначатимемо операції додавання і множення у векторному просторі як "+" і "", маючи на увазі абстрактні операції "" і "".
2 Теорія визначників n-го порядку.
Для введення поняття визначника -го порядку потрібна інформація з теорії перестановок і підстановок.
2.1 Перестановки з nсимволів.
Означення 1. Перестановкою з символів називається розташування цих символів в деякому порядку.
Означення 2. Транспозицією називається таке перетворення перестановки, при якому два її елементи міняються місцями.
Теорема 1. З символів можна скласти перестановок.
Доведення.
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.
1. При це твердження є правильним, бо маємо дві перестановки: 1 2, 2 1.
2. Зробимо індуктивне припущення: з символів можна скласти перестановок.
3. Покажемо справедливість індуктивного переходу для .
Розглянемо всі перестановки з символів за такою схемою. Запишемо спочатку всі перестановки, що починаються з одних одиниць.
Ця група знаходиться в умовах індуктивного припущення. За індуктивним припущенням з символів утворюється перестановок.
Запишемо всі перестановки, що починаються з двійки, трійки, тощо.
Останньою буде група перестановок, що починаються з .
Таким чином всі перестановки розбиваються на k+1 клас, в кожний з яких входить k перестановок. Отже всього буде k!(k+1)=1ˑ2ˑ…ˑkˑ(k+1)=(k+1)! перестановок. З доведеного за принципом математичної індукції дане твердження є правильним при довільному натуральному .
Теорема 2.Усі перестановок з символів можна записати таким списком, в якому кожна наступна перестановка може бути отримана з попередньої шляхом однієї транспозиції.