Нехай задано визначник d.
Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це будуть мінори М1,М2,…,Мs. Побудуємо до кожного з мінорів його алгебраїчне доповнення. Треба довести, що d = M1A1+M2A2+…+MsAs.
Для доведення рівності доведемо 2 факти: кожний член d належить правій частині, і навпаки, кожний член правої частини є членом лівої частини. Другий факт безпосередньо випливає з леми про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення. Доведемо перше. Візьмемо загальний член визначника d.
а1α1.а2α2…аkαk∙аk+1αk+1.аk+2αk+2…аnαn, де α1,α2,…,αn - перестановка з 1,2,…,n
Розіб'ємо загальний член на дві частини . Таким чином, ми довели, що а1α1.а2α2…аkαk∙аk+1αk+1.аk+2αk+2…аnαn
Для того, щоб збігались знаки розглянутого члена в d з М∙М', треба замінити А1 (це випливає з леми). Таким чином, перший факт також доведений.
Наслідок.Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх алгебраїчні доповнення.
Нехай в теоремі Лапласа k=1.
Виділимо і-ий рядок. Тоді мінорами І порядку, розташованими в цьому рядку, будуть елементи цього рядка.
З цього наслідку випливає, що обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку. Користуючись властивістю 8) визначників можна звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення лише одного визначника (n-1)-го порядку.
Для цього доведемо, що в будь-якому рядку (якщо не всі елементи рядка нулі) за допомогою властивості 8) можна отримати всі нулі, крім одного.
Нехай . Зробимо такі перетворення. До другого стовпця додамо перший, помножений на , …, до n-стовпця – перший помножений на . Тоді отримаємо
Таким чином, обчислення визначника n-го порядку зведено попереднім перетворенням до обчислення визначника (n-1)-го порядку
2.6 Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї
Лема.Нехай задано визначник d n-го порядку. Сума добутків елементів і-го рядка на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів j-го рядка дорівнює 0.