Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему.
Доведення:
Необхідність: є другим наслідком теореми про ранг.
Достатність:
Нехай рядки (стовпці) лінійно залежні, треба довести, що .
При доведенні виникають два випадки.
1) Тоді -і його рядки лінійно-залежні
2) Тоді лінійна залежність рядків означає, що існує рядок, який є лінійною комбінацією інших.
А тоді за властивістю 9 визначників визначник дорівнює нулю.
4 Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь
4.1 Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь
Теорема Кронекера-Капеллі.Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширенної матриці.
Означення.Матрицею системи називають матрицю утворену з коефіціентів при невідомих.
Розширеною матрицею називають матрицю системи, яка утворена з матриці системи приєднанням стовпця вільних членів.
Доведення теореми.Нехай задана система
(1)
, .
Необхідність. Нехай система (1) сумісна. Треба довести, що r A = r` . Скористаємось умовою, що система (1) сумісна: Нехай ( ) – розв’язок системи (1).
За означенням розв'язку маємо систему правильних числових рівностей
Ці рівності означають, що останній стовпець матриці ` є лінійною комбінацією стовпців матриці А. З цього випливає, що максимальна кількість стовців матриці А збігається з максимальною кількістю стовпців матриці `А , тобто r A = r`A.
Достатність. Нехай r A = r `A . Треба довести, що система (1) сумісна. Тоді
будь-яка максимальна лінійно незалежна система стовпців матриці А залишається максимально лінійно незалежною системою і в матриці `А. Таким чином, через цю систему, а тому і взагалі через систему стовпців матриці А, лінійно виражається останній стовбець матриці А. Отже, існує така система коефіцієнтів , що сума стовпців матриці А, взятих з цими коефіцієнтами, дорівнює стовпцю з вільних членів, а тому числа є розв’язком системи (1). Таким чином, якщо r A = r , система (1) сумісна.
4.2 Критерій визначеності і невизначеності системи