Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсом.
| φ |
| М |
Якщо ввести полярну систему координат, то положення точки М на площині визначається довжиною її радіуса-вектора і кутом між полярною віссю і радіусом-вектором .
Як завжди, додатній кут отримується поворотом проти годиникової стрілки. Якщо задані r та j , то точка визначається однозначно на пллощині. Якщо ж задати точку, то r визначається однозначно, а j - неоднозначно, а з точністю до доданка 2kπ.
Для того, щоб ліквідувати таку неоднозначність, домовимось, розглядати кут в межах 0 £ p £ 2 або -p £ j £ p. Тоді виникає взаємнооднозначна відповідність між точками площини і числами r та j.
Означення. Числа r та j називаються полярними координатами точки. Число r – полярним радіусом, кут j - полярним кутом точки М .
Знайдемо зв¢язок між полярними координатами точки і декартовими прямокутними. Введемо декартову прямокутну систему координат таким чином, що її початок збігається з полюсом, а вісь Ох з полярною вісью.
Використовуючи теорему про геометричний зміст декартових прямокутних координат, маємо
| φ |
| φ |
| M |
| M |
| x |
| x |
| y |
| y |
j.
(90°-j) = r× sinj .
Якщо відомі r та j, то x і y можна обчислити за формулами
x = r cos j
y = r sin j .
Поставимо обернену задачу: відомі x та y, треба знайти r та j.
З попередніх рівностей маємо:
З цих рівностей випливає
j+ j) ,
, ,
j , j .
6.3 Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.
Нехай задано комплексне число a = (a, b) = a + b×і , де a і b – декартові прямокутні координати точки a, що зображає комплексне число.
Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х.
Нехай точка a має полярні координати a (r,j). Використовуючи зв¢язок між декартовою і полярною системами, маємо
a = a + bi = r×cosj + r×sinj
Звідси a = r (cosj + isinj), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою, r – модуль комплексного числа a ( r = ½a½), j - аргумент к a (j = arg a).
Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.
Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі.
Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі
a = r1 (cos + i sin )
b = r2 (cos + i sin ) .
Треба одержати a× b = r (cos j + i sin j) . Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо.
a× b = ( cos + sin ) ( ) =
= ,
тобто a×b = (cos( + )+i×sin( + ) ).
Звідси випливає:
r=r1r2, r=|a× b|, r1=|a|, r2=|b|, |a× b|=|a|×|b|.
j = + , j = arg (ab) , = arg a , = arg b , arg (ab) = arg a + arg b .
Таким чином ми одержали, що
1) модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів.
2) аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів.
Підсумовуючи це, маємо
Правило: Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи.
Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі
Домножимо чисельник і знаменник на
Отже, отримали правило
, arg ( ) = × = arg a - arg b.
6.4 Операції піднесення до степеня
Поняття цілого степеня комплексного числа вводиться так само як і для дійсного числа. Нагадаємо, що при .
Домовились вважати . Для введення існують два шляхи.
1) , де
2)
Для корректності введеного поняття треба виконати вправу:
1) Довести
2) Довести при .
1. Розглянемо спочатку операцію піднесення в алгебраїчній формі. Нехай задано число . Оскільки з попередніх означень випливає, що піднесення до цілого степеня зводиться до піднесення до натурального степеня, то можна скористатися формулою Бінома Ньютона:
Розглянемо таблицю множення числа і
з цього випливає
Використовуючи таблицю множення та виділяючи дійсну та уявну частину, отримаємо
| (1) |
2. Розглянемо операцію піднесення до степеню, коли задано в тригонометричній формі.
Використовуючи правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі, маємо
.
| Тобто, - формула Муавра | (2) |
Застосуємо отримані рівності (1) і (2) для знаходження розкладання і через і . Окремі випадки цих формул при n=2,3 відомі зі шкільного курсу.
Застосуємо до числа формулу (2). В тригонометричній формі
(3)
Застосуємо формулу (1) при , отримаємо
Порівнюючи в формулах (3) і (4) дійсні та уявні частини, отримаємо
(4)
6.5 Операція здобуття кореня n-ого степеня з комплексного числа
Нехай задане комплексне число .
Означення Коренем n-ого (n≥2) степеня з комплексного числа називається комплексне число таке, що
.
Нехай число задано в алгебраїчній формі . Шукатимемо також в алгебраїчній формі . Розглянемо найпростіший випадок n=1. Тоді за попереднім означенням треба знайти дійсні числа с і d такі що
Тобто,
Порівнюючи дійсні та уявні частини, отримаємо дійсну нелінійну систему рівнянь.
Більш складна система виникає, якщо таким шляхом вилучати корені степеня n≥3.
Розглянемо це питання для комплексного числа заданого в тригонометричній формі .
Шукатимемо також в тригонометричній формі .
За означенням, користуючись формулою Муавра, маємо
.
З цієї рівності випливає
Звідси випливає (арифметичний корінь), .
Отже
Насправді, щоб отримати всі корені достатньо змінювати . Нехай . Доведемо, що збігатиметься з одним з коренів . Поділимо к на n:
.
Тоді
Скористаємося періодичністю тригонометричних функцій, тоді
Отже, отримали формули
Зауваження В шкільному курсі символ вживався лише для арифметичних коренів. Тепер ми вживатимемо цей символ в більш широкому сенсі.
6.6 Корені n-ого степеня з одниці
Застосуємо отриману формулу в окремому випадку при . Подамо в тригонометричній формі:
Тоді,
Корені n-ого степеня з 1 мають цікаві властивості.
Властивість 1 Добуток двох коренів n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.
Доведення. Нехай та - корені n-ого степеня з одиниці, тобто . Треба довести, що , тобто що .
Розглянемо
Внаслідок асоціативності і комутативності множення комплексних чисел маємо
що і треба було довести.
З цієї властивості випливає наслідок.
Наслідок 1. Будь-який натуральний степінь кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.
Властивість 2 Число обернене до кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.
Доведення. Нехай , - число обернене до , тому . Треба довести, що , тобто .
Розглянемо . Звідси внаслідок коммутативності і ассоциативності множення маємо . Оскільки , то , що і треба було довести.
Наслідок 2. Будь-який від`ємний степінь кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.
Це випливає з того, що .
Оскільки , то з наслідків 1 та 2 випливає: будь-який цілий степінь кореня n-ого степеня з одиниці також є коренем n-ого степеня з одиниці.
В подальшому ці властивості в розділі теорії груп дозволять побудувати мультиплікативну групу коренів n-ого степеня з одиниці.
Розглянемо властивість, важливу з практичної точки зору.
Властивість 3. Добуток кореня n-ого степеня з числа на корінь n-ого степеня з одиниці є коренем n-ого степеня з числа .
Доведення. Нехай . Треба довести, що , тобто що .
Розглянемо , що і треба було довести.
З цієї властивості випливає, що всі корені n-ого степеня з числа можна отримати помноживши одного з них на кожний корінь n-ого степеня з одиниці.
6.7 Комплексно-спряжені числа
Означення. Числа вигляду та називаються комплексно-спряженими.
Очевидно, що сума і добуток комплексно-спряжених чисел
,
.
є дійними числами.
Відмітимо важливі для подальшого властивості.
Властивість 1. Число комплексно-спряжене до суми дорівнює сумі чисел спряжених до доданків.
.
Доведення. Нехай , , тоді . Тому .
Аналогічно можна довести (пропонується зробити це самостійно):
1. ;
2. ;
3. .
6.8 Нерівність трикутника
Як і для дійсних чисел для комплексних чисел має місце нерівність трикутника
Доведення. Спочатку доведемо геометрично, що .
Зобразимо на площині комплексні числа та , побудуємо геометрично суму . Отримаємо трикутник зі сторонами
Тоді, за нерівністю трикутника маємо
.
Отже, друга частина нерівності доведена.
| А |
| В |
| О |
| α |
| β |
Доведення першої частини нерівності зведемо до другої частини. Для цього запишемо очевидну нерівность.
,
Застосуємо до цієї суми доведену нерівність
.
Зауважимо, що (довести самостійно). Тоді маємо нерівність в області дійсних чисел
.
А тому,
,
що і треба було довести.
Якщо в нерівності трикутника покласти , то отримаємо і таку нерівність .
7 Література
1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1971. – 232с.
2. Ильин В.А. Линейная алгебра/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1984. – 232с.
3. Завало С.Т. Курс алгебри. – К.: Вища шк., 1985. – 504с.
4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:Наука, 1979. – 512с.
5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.:Наука, 1975. – 431с.
6. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1969. – 670с.
7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 320с.
8. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Гостехиздат, 1949. – 336с.
9. Тышкевич Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия/ Р.И.Тышкевич, А.С. Феденко. – Минск: Вышейшая школа, 1968. – 505с.
10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984. – 336с.
11. Бурдун А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии/ А.А.Бурдун, Е.А.Мурашко, М.М.Толкачев, А.С.Феденко. – Мн.: Універсітэцкае, 1999. – 302с.
12. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – К: Либідь, 2001. – 256с.
13. Гриньов Б.В. Аналітична геометрія./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 344с.
14. Гриньов Б.В. Вища алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 184с.
15. Гриньов Б.В. Векторна алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 164с.
16. Варех Н.В. Лабораторні роботи до курсу лінійної алгебри та геометрії/ Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, Н.А.Лихолат, С.Д.Сотникова. – Д.: РВВ ДДУ, 1992. – 52с.
17. Варех Н.В. Методи обчислення визначників n-го порядку/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, В.Б.Круглушина. – Д.: РВВ ДДУ, 1995. – 28с.
18. Варех Н.В. Лінійні оператори/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДДУ, 2003. – 28с.
19. Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Многочлены от одной переменной»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ, 1989. – 32с.
20. Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Плоскость»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ,. – 1992. – 32с.
21. Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2005. – 48с.
22. Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 76с.
23. Варех Н.В. Практикум із векторної алгебри/Н.В.Варех, Н.Л.Козакова. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 52с.