Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.
Доведемо, що вектори колінеарні.
Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності). Тоді , тобто вектори колінеарні.
Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.
Можливі випадки:
1) Принаймні один з векторів нульовий. Тоді твердження очевидне, тому що в системі міститься лінійно залежна підсистема.
2) Обидва вектори ненульові.
Для доведення потрібна така лема.
Лема. Якщо і , то : .
Дійсно, якщо , то , якщо , то .
Згідно із лемою маємо, що . Таким чином система лінійно залежна.