Доведемо цю теорему в просторі.
Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .
Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної залежності.
Тож маємо .
Доведемо єдиність розкладання.
Припустимо супротивне, що для має місце ще одне розкладання.
.
Зауважимо, що оскільки розкладання відрізняються, то різними є принаймні одна пара коефіцієнтів ci, di. Припустимо (для визначеності), що .
Тоді отримуємо:
Оскільки , то отримано рівність , що стверджує про лінійну залежність векторів базису. Отримано суперечність до означення базису.