Доказательство

По определению условной вероятности,

Р_A(B) = Р(АВ) / Р(A).

Отсюда

Р (АВ) = Р(А) Р_A (В).

Замечание. Применив формулу (1) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В) Р_B(А),

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Р(АВ) = Р(В) Р_B(А). (2)

Сравнивая формулы (1) и (2), заключаем о справедливости равенства

Р(А) Р_A (В) = Р(В) Р_B(А). (3)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

 

где

является вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили.

В частности, для трех событий

Р(AВС) = Р(А)· Р_A (В)· Р_AB (С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Задача 12.У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение.Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A),

Р(А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность Р_A(В) = 7/9. По теореме умножения, искомая вероятность

Р(АВ) = Р(А)· Р_A(В) = (3/10) · (7/9) = 7/30.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Р_B (А) = 3/9, Р (В)· Р_B(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (3).

Задача 13.В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Решение.Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р(A) = 5/12. Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность P_A(B) = 4/11. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность Р_AB(С) = 3/10. Искомая вероятность

Р(ABC) = Р(A)· P_A(В)· Р_AB(С) = (5/12) · (4/11) ·(3/10) = 1/22.