Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1,А2, ...,An. События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим
или
Частный случай. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
.
Задача 18.Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение.Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и A3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям A1, А2 и А3 (т. е. вероятности промахов), соответственно равны: q1 = l — p1 = l — 0,8 = 0,2;
q2 = l — p2 = l — 0,7 = 0,3; q3 = 1 — p3 = 1 — 0,9 = 0,l..
Искомая вероятность P(A) = 1 — q1q2q3 = 1 — 0,2·0,3 ·0,1 = 0,994.
Задача 19.В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение.События "машина работает" и "машина не работает" (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: р + q = 1. Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна q = l — p = l — 0,9 = 0,1. Искомая вероятность
Р(A) = 1 — q4 = 1 — 0,14 = 0,9999.
Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.
Задача 20.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение.Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула
Р (A) = l — qn.
Приняв во внимание, что, по условию, Р(А) ≥ 0,9, р = 0,4 (следовательно, q = 1 — 0,4 = 0,6), получим 1 — 0,6n ≥ 0,9; отсюда 0,6n ≤ 0,1. Прологарифмируем это неравенство по основанию 10: n lg 0,6 ≤ lg 0,l. Отсюда, учитывая, что
lg 0,6 < 0, имеем n ≥ lg 0,l / lg 0,6 = — l / (— 0,2218) = 4,5.
Итак, n ≥5, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.
Задача 21.Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).
Решение.Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула
Р(А) = l — qn.
По условию, P(A) = 0,936; n = 3. Следовательно, 0,936 = 1 — q3,
или q3 = 1 — 0,936 = 0,064. Отсюда
Искомая вероятность p = 1 — q = 1 — 0,4 = 0,6.
Задача 22.Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; в) одного попадания.
Решение. Пусть А – попадание первого стрелка, ; В – попадание второго стрелка, . Тогда – промах первого, ; – промах второго, . Найдем нужные вероятности.
а) двойное попадание
;
двойной промах
;
б) хотя бы одно попадание (событие С)
;
в) одно попадание
.
Задача 23.Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятности следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Решение: Введем события:
А1 - газеты доставлены своевременно в первое отделение,
А2 - газеты доставлены своевременно во второе отделение,
А3 -газеты доставлены своевременно в третье отделение.
По условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.
Найдем вероятность события Х - только одно отделение получит газеты вовремя. Событие Х произойдет, если: или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3, или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3, или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1. Таким образом,
.
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и
умножения получаем
.
Найдем вероятность события У - хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием. Введем противоположное событие - все отделения получат газеты вовремя. Вероятность этого события
Тогда вероятность события У:
.
Задача 24.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Решение.Введем независимые события:
А1 - при аварии сработает первый сигнализатор;
А2 - при аварии сработает второй сигнализатор.
По условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.
Введем событие Х - при аварии сработает только один сигнализатор. Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть . Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна
Задача 25.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Решение: Пусть - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X - при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание и противоположное ему событие - при четырех выстрелах нет ни одного попадания.
Вероятность события равна , тогда вероятность события Х равна . По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно
Решая его, получим , .