Условная вероятность

Ранее случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р_A (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Задача 11.В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение.После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

Р_A(В) = 3/5.

 

Исходя из классического определения вероятности, можно доказать формулу

Р_A(В) = Р(АВ) / Р(А) (Р(А) > 0.

Эта формула является общим определением (применимым не только для классической вероятности) условной вероятности события В при условии, что событие А уже наступило.

Вернемся к рассмотренной выше задаче. Вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А) = 3 / 6 = 1 / 2. Найдем вероятность Р(АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 · 3 = 9 исходов. Следовательно, Р(AВ) = 9 / 30 = 3 / 10.

Искомая условная вероятность

Р_A(В) = Р(АВ) / Р(А) = (3/10) / (1/2) = 3/5.

Как видим, получен прежний результат.