Задачи на теоремы Лапласа

Задача 15. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между m₁ и m₂. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и его соответствующую вероятность. n = 6400, m₁ = 3120, m₂ = 3200.

Решение. Используем интегральную теорему Лапласа:

где n = 6400, p = 0.5, q = 1– p = 0,5; m₁ =3120, m₂ = 3200, Ф – функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем данные:

Найдем наивероятнейшее число включенных ламп среди n из неравенства:

 

Отсюда m₀=3200.

Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа:

 

Задача 16. Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность того, что за смену откажут m элементов. р= 0,024, m=6.

Решение. Используем локальную теорему Лапласа:

.

Здесь n=1000, k=6, p=0,024, q=1–p=0,976, значения функции берутся из таблицы. Подставляем данные:

Задача 17. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.

Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности:

где k₁ =90, k₂ = 110, Ф – функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем данные: