Векторная геометрия

В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. Векторы, соответствующие осям 0x, 0y, 0z, обозначают соответственно , , и называют основными или базовыми ортами.

Проекция вектора на прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту прямую.

В разложении вектора = (a₁, a₂, a₃) по базису: = a₁+ a₂+ a₃слагаемые являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.

Перпендикулярные векторы называют ортогональными.

Если = (a, b, c) и известны координаты точки A(x₁, y₁, z₁), то координаты точки B(x₂, y₂, z₂) находим сложением этих координат: x₂ = x₁ + a, y₂ = y₁ + b, z₂ = z₁ + c. Аналогично координаты начала вектора получаются из координат конца вычитанием координат вектора.

Пример 1.6.1.Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координаты А(2, –1, 1), В(4, 2, 0), С(–3, 1, –2).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было наглядно видно, какие векторы использовать в вычислениях. Замечаем, что

= = (–3 – 4, 1 – 2, –2 – 0) = (–7, –1, –2),

и получаем координаты D(2 – 7, –1 – 1, 1 – 2), или D(–5, –2, –1).