Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и определяется формулой:

= cosa, (1)

где a – угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. = .

2. = .

3. =.

4. .

5. Критерий ортогональности векторов: .

6. Если = (a₁, a₂, a₃), = (b₁, b₂, b₃) то = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Такая же формула с двумя слагаемыми для плоского случая.

Пример 1.6.2.Найти косинус угла a между векторами = (2, –1, 3), и = (3, 2, –2).

Решение. Из формулы (1) получаем cosa = ;

= = –2;

;

;

cosa =.

Пример 1.6.3.Найти площадь треугольника АВС, если заданы координаты вершин А(2, –1, 3), В(3, 2, –2), С(0, 3, 1).

Решение. Площадь находим по формуле , где a – угол между АВ и АС. Вводим векторы

= (3 – 2, 2 – (–1), –2 – 3) = (1, 3, –5);

= (0 – 2, 3 – (–1), 1 – 3) = (–2, 4, –2).

cosa находим, как в примере 1.6.2:

= –2 + 12 + 10 = 20;

; ;

cosa =;

;

.

Замечание. При вычислении sina сокращение не производилось специально, чтобы упростить вычисления на последнем шаге.