В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда расширенная матрица СЛАУ
примет вид: | . |
Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).
При решении СЛАУ методом Жордановых исключений удобно расширенную матрицу системы записывать в виде следующей таблицы:
1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера–Капелли
Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы и обозначается . Для вычисления ранга матрицы применяем метод окаймляющих миноров.
Например, задана матрица |
Находим ее окаймляющие миноры:
; ; .
Окаймляющий минор 3-го порядка равен нулю, следовательно ранг равен порядку предыдущего минора , т. е. .
Замечание. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы найдется минор , а все окаймляющие его миноры , то .
Рассмотрим произвольную систему вида (16)
Основная матрица этой системы , а расширенная , где , . Система (16) будет совместной (т.е. будет иметь решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы этой системы, т.е.
. |
Это и есть теорема Кронекера–Капелли.
Для ранга системы возможны два случая:
1) если общий ранг равен числу неизвестных , то система (16) будет иметь единственное решение;
2) если , то система (16) будет иметь бесконечное число решений.
Если же , то система (16) несовместна, т.е. не имеет решений.