Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.
. |
Число при этом называют собственным значением оператора .
Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как , то
. |
В развернутом виде получим однородную систему:
(20) |
которая называется характеристической, и будет иметь ненулевое решение, если ее определитель обращается в нуль:
(21) |
Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:
(22) |
где – след матрицы ; – алгебраические дополнения, – определитель матрицы .
Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу , по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:
, |
причем диагональную, по главной диагонали которой стоят собственные значения , т.е.
.
Это справедливо только для случая различных действительных корней.
Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.
Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая , то ее собственные значения действительные и различные, а собственные векторы ортогональны.
Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.