Найти А-1, если она существует.
Решение:
Вычислим определитель матрицы А, раскладывая определитель по первой строке.
; ; ;
|A| ¹ 0, следовательно, обратная матрица существует.
Вычисляем алгебраические дополнения элементов второй и третьей строк:
; ; ;
; ; ;
Тогда
Для проверки полученного ответа вычисляем А×А-1:
Следовательно, полученная матрица является обратной к матрице А.
12. Решить матричные уравнения:
1) АХ = В; 2) ХА = В,
если , .
Решение:
1) умножим обе части уравнения АХ = В слева на матрицу А-1: А-1×АХ =А-1×В. Так как А-1×А = Е, а ЕХ = Х, получаем Х = А-1В. Находим А-1:
;
А11=4; А12=-2; А21=-1; А22=1.
Тогда .
2) умножим обе части уравнения ХА = В справа на матрицу А-1: ХАА-1=В×А-1. Отсюда
.
13. Найти матрицу, обратную к матрице А:
1); 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
14. Решить матричные уравнения АХ = В, ХА = В:
1); ;
2); ;
3); ;
4); ;
5); ;
6); .
1.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Заданную систему уравнений можно решать различными способами.
1. Матричный метод решения.
Обозначим:
, , .
Заданную систему уравнений можно записать в матричной форме