Напомним, что ступенчатой матрицей называется прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
С помощью элементарных преобразований строк любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду.
Алгоритм приведения.
1-й шаг. То, что матрица А типа m×n – ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой то строке, то в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый, отличный от нуля элемент, расположен в столбце с наименьшим номером k1≥1. Применим к матрице А преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате этого преобразования матрица А переходит в матрицу
, (1)
где . Остальные элементы могут быть как ненулевыми , так и нулевыми. Верхний индекс в скобках, например , обозначает номер шага преобразований.
Далее необходимо добиться, чтобы все элементы k1-го столбца матрицы (1), кроме первого элемента , оказались равными нулю.
Для этого необходимо к каждой i-й строке матрицы (1) (i=2,…,m) прибавить первую строку, умноженную на (это преобразование третьего типа).
В результате получим матрицу, у которой элементы в позициях будут равны нулю. Приходим к матрице вида
. (2)
Конец первого шага. В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует!
Если у матрицы (2) все строки, кроме первой, нулевые, то процесс преобразований завершен. Если у матрицы (2) есть ненулевые строки, кроме первой, тогда переходим ко второму шагу.
2-й шаг. Выберем ту ненулевую строку матрицы (2), в которой первый ненулевой элемент располагается в столбце с наименьшим номером, например k2 , (вполне очевидно, что k2>k1). Применим к матрице (2) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй строки. Имеем
, (3)
где .
Прибавим к каждой i-й строке (i=3,…,m) матрицы (3) вторую строку, умноженную на .
В результате получим матрицу, в которой под элементом будут находиться нулевые элементы, т.е. в позициях (i , k2).
В общем случае может возникнуть необходимость третьего и последующих шагов. Однако суммарное число шагов не превосходит min(m , n). Поэтому обязательно наступает момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу ступенчатого вида
, (4)
где k1<k2<…<kr и , , … , .
Ступенчатую матрицу при помощи элементарных преобразований ее столбцов можно привести к матрице, имеющей еще более простой (канонический, или упрощенный) вид:
.
В приведенной матрице все элементу, кроме единиц, стоящих в позициях (1,1), (2, 2), …, (r, r) равны нулю; r=4.
Преобразование матрицы (4) ступенчатого вида к каноническому производится следующим образом.
1. Путем перестановки в матрице (4) столбцов с номерами k1, k2, …, kr на место первого, второго, …, r-го столбцов соответственно (это преобразование 1 – го типа) получаем трапециевидную матрицу
, (5)
где , , … ,
2. Далее необходимо добиться, чтобы все элементы первой строки матрицы (5), кроме первого элемента, были равны нулю. Для этого прибавляем к каждому j – му столбцу матрицы (5) первый столбец, умноженный на Это преобразование третьего типа. В результате таких преобразований получаем матрицу, первая строка которой содержит только один ненулевой элемент .
(6)
3. Аналогично упрощаем 2–ю, 3–ю,…, r–ю строки. В результате получаем матрицу, например:
(7)
все элементы которой равна нулю, за исключением первых r диагональных элементов. В приведенном примере - матрица (7) - r=5.
4. К каноническому виду матрица (7) приводится преобразованиями 2 – го типа, то есть умножением каждой строки на коэффициент
Пример.
Привести матрицу А3×4 к ступенчатому и каноническому виду
1. Выбираем первую строку. Необходимо добиться, чтобы все элементы первого столбца, кроме а11=7, были равны нулю.
Умножаем первую строку на 0, и складываем со второй
Умножаем первую строку на и складываем с третьей
2. Необходимо добиться, чтобы во втором столбце третий элемент был равен нулю.
Для этого умножаем вторую строку на и прибавляем к третьей
Полученная матрица – матрица ступенчатого вида. Нетрудно видеть, что одновременно она и трапециевидная матрица.
Преобразуем ее к каноническому виду.
1. Необходимо добиться, чтобы в первой строке все элементы, кроме первого, были равны нулю.
Умножаем первый столбец на и прибавляем ко второму столбцу
Умножаем первый столбец на и прибавляем к третьему столбцу
Умножаем первый столбец на и прибавляем к четвертому столбцу
2. Необходимо добиться, чтобы все элементы во второй строке, кроме диагонального а22 = - 3.143, были равны нулю.
Умножим второй столбец на и прибавим к третьему столбцу
Умножим второй столбец на и прибавим к четвертому столбцу
3. Необходимо добиться, чтобы в третьей строке все элементы, кроме диагонального а33 = - 3.733, были равны нулю.
Умножим третий столбец на и прибавим к четвертому столбцу
4. Необходимо добиться, чтобы все диагональные элементы были равны 1.
Умножим первую строку на 1/7, вторую строку на 1/-3.143, третью на 1/-3.733
Таким образом , элементарными преобразованиями матрица А приведена к каноническому виду.