Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения

Лекция 1. Матрицы и действия над ними.

Основные понятия и определения.

Матрицы впервые появились в середине 19-го века в работах английских математиков У. Гамильтона (1809-1865) и А.Кэли (1821-1895).

Примечание: Уильям Гамильтон – ирландский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1837);

Артур Кэли (Кейли) – английский математик, иностранный член – корреспондент Петербургской Академии Наук (1870).

В настоящее время матрицы широко используются в прикладной математике, в частности, представляют собой удобный аппарат для компактной записи и последующего исследования и решения систем линейных уравнений.

Матрицей типа (размера) называют прямоугольную числовую таблицу, состоящую из чисел, которые расположены в m строках и n столбцах.

Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Их обозначают строчными буквами с двумя индексами, например, , где i- номер строки ( ), j- номер столбца ( ), в которых расположен этот элемент.

 

Матрицы обозначают

 

 

Иногда используют обозначение матриц:

 

Соответственно элементы матрицы обозначаются , где i- номер строки; j- номер столбца.

Сокращенные обозначения:

 

Используется также обозначение .

Матрицу как единый объект обозначают прописной буквой А, В и т.д. При необходимости указать тип (размер) матрицы используют обозначения Используется также обозначение или

Набор называется i-й строкой матрицы А, набор

 

называется j- м столбцом матрицы А.

Рядом матрицы называется строка или столбец.

 

Элемент матрицы, стоящий в i-той строке и j- том столбце может также обозначаться . Чаще обозначается .

Элементами матрицы могут быть не только действительные числа, но и комплексные, и даже другие математические объекты: функции, многочлены, матрицы, например:

 

Мы будем рассматривать только числовые матрицы, т.е. матрицы, составленные из действительных чисел. Множество всех числовых матриц типа m×n , элементами которых являются действительные числа, обозначаются . Здесь - обозначение множества действительных чисел ( - множество комплексных чисел).

Если матрица имеет тип 1×n, т.е. у матрицы всего одна строка , то матрицу называют матрицей - строкой. Индекс строки можно опустить . Число элементов в матрице- строке называют ее длиной: n- длина матрицы- строки.

Если матрица имеет тип m×1, т.е. у матрицы один столбец

,

то ее называют матрицей- столбцом. Число элементов в матрице- столбце называют ее высотой. Индекс столбца можно опустить

.

Матрицу- строку и матрицу- столбец можно обозначать и .

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-строка или вектор – столбецсоответственно).

Матрица размера 1×1, состоящая из одного числа отождествляется с этим числом, т.е. (5)_1×1 есть 5.

 

Иногда бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов.

Пусть

 

векторы - столбцы матрицы А.

Пусть

 

векторы - строки матрицы А.

 

Тогда матрицу А можно записать в виде столбца из строк

,

или в виде строки из столбцов

.

Подматрицей матрицы А размера m×n называется матрица A^' размера r×s, составленная из элементов матрицы А, находящихся на пересечении выбранных r строк и s столбцов. Номера выбранных строк и столбцов должны следовать в порядке возрастания.

 

 

Пример 1.

 

(строк r=3, столбцов s=4), подматрица матрицы А будет иметь вид

.

 

Пример 2.

.

Подматрица, состоящая из трех строк и двух столбцов, в данном случае имеет вид

.

Квадратной матрицей порядка n называется матрица, которая имеет столько же столбцов, сколько и строк m=n

 

Порядок – это число строк (столбцов) квадратной матрицы.

При m≠n – матрица прямоугольная.

Последовательность элементов квадратных матриц называется главной диагональю. Элементы главной диагонали называются диагональными.

Последовательность элементов квадратных матриц называется побочной диагональю.

Понятие главной диагонали и диагонального элемента распространяется и на прямоугольные матрицы.

Пример.

.

Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали, равны нулю

.

Обозначается .

Единичная матрица – диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице. Обозначается буквой Е, или I

 

 

 

Нулевая матрица – прямоугольная матрица типа m×n, все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой Θ или O

.

Верхняя треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю равны нулю.

Нижняя треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.

Пример.

 

Трехдиагональные матрицы – квадратные матрицы, у которых ненулевыми элементами могут быть лишь диагональные и соседние с ними в строке (или в столбце).

Пример.

.

 

Верхняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.

Нижняя трапециевидная матрица – прямоугольная матрица, у которой элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю.

 

 

Пример.

, .

Ступенчатая матрица (матрица ступенчатого вида) – прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.

Примеры.

,

 

, , .

 

С точки зрения программирования матрицы – это двумерные массивы чисел.

 

 

Действия над матрицами.

Линейные операции над матрицами.

Линейные операции над матрицами – это умножение матриц на число и сложение матриц.

Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковый размер (тип) m×n, и если у них совпадают соответствующие элементы, т.е. . Обозначение А=В.

Суммой матриц и типа m×n называют матрицу того же типа m×n с элементами .

Обозначение

Пример.

.

Сумма определена только для матриц одного типа.

Произведением матрицы типа m×n на действительное число ∝ называют матрицу типа m×n с элементами . Обозначение . Пример: .

Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица получается из исходной матрицы А путем замены каждой ее строки столбцом с тем же номером. Пример:  

Умножение матриц.

. Обозначение : . Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк…

Следствия.

.   2. Умножение матрицы – строки А типа 1×n на матрицу – столбец В типа n×1 дает матрицу 1×1, которую…

Свойства операции умножения.

1. Умножение ассоциативно, т. е.

.

2. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е.

.

3. А*Е=Е*А=А, где Е – единичная матрица ( для квадратной матрицы А порядка n матрица Е также имеет порядок n).

4. Для любой квадратной матрицы А порядка n и нулевой матрицы О порядка n выполняется равенство А*О=О.

5. Для любых матриц А и В типов m×n и n×k выполняется равенство , т.е. транспонирование произведения двух матриц равно произведению в обратном порядке транспонированных матриц:

.

Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения матрицы в натуральную степень:

.

Две степени и одной и той же квадратной матрицы являются матрицами одного порядка и перестановочными .

Нулевая степень квадратной матрицы , где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выражения вида

,

где - действительные числа, т.е. многочлены от матричного аргумента.

Пример. Вычислим значение квадратного трехчлена для квадратной матрицы

.

Поскольку , то .

Вычислив

,

находим

 

.

 

Блочные матрицы.

Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе…   Например, матрицу

Умножение блочных матриц.

1. Число «блочных» столбцов матрицы А совпадает с числом «блочных» строк матрицы В (т.е. индекс для А и В изменяется в одинаковых пределах). Или… Например - размер 2×3,

Транспонирование блочной матрицы.

При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежат и ее элементы.

Пример:

.

Транспонируем блочную матрицу

 

 

Прямая сумма матриц.

, где О – нулевой блок (нулевая матрица типа m×n вверху справа и n×m… Пример.

Линейная зависимость строк и столбцов.

Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений , где – произвольный набор векторов - строк (столбцов) одинаковой длины (высоты); – вектор – строка (столбец).

Критерий линейной зависимости (теорема).

Следствия. Пусть строки (столбцы) линейно независимы, а хотя бы одна из строк… Столбцы

Линейная зависимость матриц.

Используя линейные операции можно составлять из матриц одинаковых размеров и чисел выражения вида , где – матрица того же размера.

Критерий линейной зависимости матриц.

Система из k>1 матриц линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.

Следствия.

Если некоторые из матриц составляют сами по себе линейно зависимую систему, то вся система линейно зависима.

Если в систему матриц входит нулевая матрица, то система линейно зависима.

Любые матрицы, входящие в линейно независимую систему матриц, сами по себе линейно независимы.

Если матрица В разложена по линейно независимой системе матриц , то коэффициенты разложения определены однозначно.

 

Элементарные преобразования матриц.

Элементарные преобразования играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях. Напомним, что рядом матрицы называется ее строка или столбец. Элементарными преобразованиями матриц (типами элементарных преобразований) являются:

Приведение матриц к ступенчатому виду с помощью

Элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований строк любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Алгоритм приведения. 1-й шаг. То, что матрица А типа m×n – ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю.…

Вырожденные и невырожденные матрицы.

Положение 1.Элементарные преобразования строк переводят линейно зависимые строки в линейно зависимые, а линейно независимые строки в линейно… Следствие. Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в… Положение 2. Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные…

Обратная матрица.

Две матрицы могут бать перестановочными только в том случае, когда обе они – квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому обратную матрицу… Положение 1. Если у матрицы А существует обратная, то она единственная. Положение 2. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена.

Основные свойства обратной матрицы.

1. (А^-1)^-1=А.

2. (А×В)^-1=В^-1×А^-1.

3. (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

Способ вычисления обратной матрицы.

1. Пусть имеем квадратную матрицу А порядка n. Составим матрицу D размеров n×2n, приписав к матрице А справа единичную матрицу порядка n.

2. Элементарными преобразованиями строк преобразуем D так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу.

3. Тогда правая половина превратится в матрицу А^-1.

Более подробно способы вычисления обратной матрицы будут рассмотрены ниже.

Из экзаменационных вопросов.

1. Матрицы, виды матриц.

2. Операции над матрицами и их свойства.

3. Блочные матрицы.

4. Теорема о произведении блочных матриц.

5. Элементарные преобразования матриц.

6. Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Свойства.

Литература.

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Учебник. Т.1. Изд. 4-е. – М.: (в 2 ч.). Ч.1/ Дмитрий Письменный. – 10-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2010. – 288 с.: ил. – (Высшее образование). Стр. 10 – 14.

2. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т.1. Изд. 4 – е. – М.: Едиториал УРС, 2012. – 336 с. Стр. 75 – 90.

3. Глухов М.М. Алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2005. – 392 с., ил. Стр. 151 -155.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. – 10 – е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с. Стр. 114 - 132.

5. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов. 4 – е изд., испр. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд. – во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. III). Стр. 155 – 182.