Определение.Матрица Х называется обратной для матрицы А, если Х×А=А×Х=Е, где Е – единичная матрица.
Две матрицы могут бать перестановочными только в том случае, когда обе они – квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому обратную матрицу имеет только квадратная матрица.
Положение 1. Если у матрицы А существует обратная, то она единственная.
Положение 2. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена.
Обратную к матрице А принято обозначать А-1. На символ -1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы А целая положительная степень Аk определяется как произведение матрицы А самой на себя k раз. Положительная степень (А-1)k матрицы А-1 считается отрицательной степенью А-k матрицы А. Нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка. При этом определении для невырожденной матрицы Аk×Аm=Аk+m для любых целых k и m.