Если разделить некоторую матрицу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами. Эти ячейки называются блоками матрицы. Сама матрица А может рассматриваться как таблица, элементами которой являются более мелкие таблицы : . При таком построении матрица А составляется из блоков и поэтому называется блочной.
Например, матрицу
разобьем на следующие блоки
и обозначим их
, ,
, .
Тогда матрицу А можно записать в виде блочной матрицы, элементами которой будут эти матрицы :
.
Матрицу А на блоки можно разбить иным способом
.
Тогда блоками матрицы будут
, , ,
, , ,
, , .
Тогда блочная матрица А будет иметь вид
.
Нетрудно видеть, что для составления блочной матрицы из серии матриц ( блоков) необходимо, чтобы подмножества матриц с одинаковыми значениями индекса имели одинаковое количество строк, а подмножества матриц с одинаковым значением индекса – одинаковое значение столбцов.
Пример. Указанным требованиям удовлетворяют следующие четыре матрицы:
, ,
, .
Поэтому из них можно составить блочную матрицу
.
Основное свойство блочной матрицы состоит в том, что операции над блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и операции над обычными матрицами.
При сложении блочных матриц: размеры слагаемых блочных матриц должны быть одинаковы; размеры отдельных блоков с равными индексами у слагаемых матриц должны бать одинаковы.