Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как матрицы - строки и матрицы – столбцы. Поэтому над ними, как и над любыми матрицами, можно выполнять линейные операции.
Линейные операции над строками (столбцами) дают возможность составлять строки (столбцы) в виде выражений
,
где – произвольный набор векторов - строк (столбцов) одинаковой длины (высоты); – вектор – строка (столбец).
Например , набор строк (некоторой матрицы):
,
,
………………………..,
.
Например, набор столбцов (некоторой матрицы):
… ,
Вектор – строка (столбец) называется линейной комбинацией строк (столбцов) с коэффициентами .
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, и тривиальной, если .
В последнем случае вектор – строка (столбец) – нулевая строка (столбец) .
Строки называются линейно независимыми, если равенство
,
где в правой части – нулевая строка, возможно лишь при , т.е. нулевой строке равна только тривиальная линейная комбинация строк.
Строки называются линейно зависимыми, если равенство
возможно, когда существуют действительные числа , не равные нулю одновременно, т.е. нулевой строке равна нетривиальная линейная комбинация строк.
Аналогично это распространяется и на линейную зависимость и независимость столбцов.
Например:
пусть – вектора – строки (одинаковой длины)
Составим их линейную комбинацию : вектор – строку
,
где
,
,
.
Линейная комбинация
или , где элементы вектора – строки определяются следующим образом:
……………………………….,
Если среди хотя бы одно не равно нулю, но то строки линейно зависимы.