Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(10)
Допустим, что система имеет решение и пара составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Решая систему уравнений, получим решение вида
, (11)
Если , то наши рассуждения не приводят ни к какому результату, и поэтому будем полагать что . Для выражения существует специальное название определитель матрицы и специальное обозначение:
, (12)
где .
Пример 2.1. Рассмотрим .
.
С помощью определителей формулы (11) записываются в виде:
, (13)
Рассмотрим систему уравнений с тремя переменными и тремя неизвестными
(14)
Запишем его в матричном виде:
(15)
Решая данную систему уравнений и вводя обозначение:
(16)
можно показать, что решение системы
,,
Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка
и третьего порядка
Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причём эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками плюс или минус по определённому правилу.
С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.
Обозначение:
.