ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Н.А. Гарифуллина

 

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

 

У ф а

РИЦ БашГУ

Уфа 2012

 

 

УДК 512

ББК 22.14

 

 

Печатается по решению кафедры Информационной безопасности ИУБП при Башкирском государственном университете. Протокол № 4 от 13.11.2012 г.

 

Гарифуллина Н.А.

Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие:/Н.А. Гарифуллина. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. – 64…  

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ

Дисциплина «Математика» занимает одно из центральных мест в учебных планах, она входит в цикл математических и естественнонаучных дисциплин.…  

Цели и задачи курса

 

Линейная алгебра составляет начальный раздел общего курса математики в вузе. Целью данного раздела является ознакомление с такими фундаментальными математическими понятиями, как матрица, ранг матрицы, обратная матрица, определители, решение системы линейных уравнений, метод Гаусса. Задачей курса является приобретение знаний по основным математическим понятиям и навыков по решению различных задач данного раздела.

 

Матрицы. Основные понятия и определения. Действия над матрицами

Многие задачи математики (и не только математики) приводят к рассмотрению специальных таблиц (в общем случае прямоугольных), составленных из чисел

,

В этой таблице 3 строки и 4 столбца, ее полезно представить схематично.

 

Определение 1.1.

  . (1)  

Пример 1.1.

Матрицы, составленные из чисел, возникают при рассмотрении систем линейных уравнений

(2)

Пример 1.2.

Рассмотрим систему . (*)

 

Системе линейных алгебраических уравнений (*) соответствуют две матрицы:

 

 

А называется матрицей коэффициентов системы (*), В – её расширенной матрицей. Ясно, что система (*) вполне определяется заданием матрицы В.

 

Определение 1.2.

Частным случаем – матрицы являются и такие матрицы, как , это так называемая матрица-строка.

Определение 1.3.

Матрица вида называется матрица-столбец.

Определение 1.4.

Матрица, полученная из матрицы заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .

. (3)

Определение 1.5.

  ,  

Пример 1.3.

Например, если

,

то а₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2, a₁₄ = -1; a₂₁ = 3, a₂₂ = -4, a₂₃ = 1, a₂₄ = -5.

Определение 1.6.

Матрица называется нулевой или нуль-матрицей, если все элементы матрицы равны нулю.

 

Определение 1.7.

Определение 1.8.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю.

 

Определение 1.9.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю (хотя часть из диагональных элементов могут быть нулями).

Определение 1.10.

Выделим из множества квадратных матриц так называемые треугольные матрицы:

- верхнетреугольная,

 

- нижнетреугольная.

 

Действия над матрицами

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для (т.е. матрицы складываются поэлементно).   (4)

Пример 1.4.

Сложить матрицы и .

Решение.

Пример 1.5.Сложить матрицы и , где

.

Решение.

 

 

Свойства операции сложения

 

1. – сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);

2. – переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);

3. , где - нуль матрица.

4. , где - нуль матрица.

5.– распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);

6. – дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц;

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .

Пример 1.6.Найти разность матриц

Решение.

или

=

 

2. Умножение матрицы на число

 

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для .

 

Матрицу умножаем на число, это значит, каждый элемент матрицы умножаем на данное число:

(5)

Пример 1.7.

Умножить матрицу на число 5.

Решение.

Пример 1.8.

Общий множитель можно выносить за скобку:

или .

3. Умножение матриц

 

Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец

(количество столбцов в матрице-строке должно быть равно количеству строк в матрице-столбце)

(6)

Пример 1.9.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

Умножение матриц

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Тогда произведение матриц , каждый…   (7)

Пример 1.11.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

Пример 1.12. Умножить матрицы и , где

 

Решение.

 

Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку

(8)

Пример 1.13.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

 

Свойства операции умножения

 

1. – сочетательное свойство умножения матриц (ассоциативность);

2. ;

3. ;

4. ;

5. , - единичная матрица;

6.

7.

8. – наличие обратного элемента.

 

4. Возведение в степень

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

. (9)

5. Транспонирование матриц

Матрица при транспонировании переходит в матрицу , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Например,

, .

 

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

4.

 

Задачи для самостоятельной работы

Найти произведение матриц и . 1. . 2. .

Определители. Вычисление определителей

(10) Допустим, что система имеет решение и пара составляет решение, так что оба… , (11)

Определение 2.1.

Определителем матрицы первого порядка, называется сам элемент :

.

 

Определение 2.2.

Определителем матрицы второго порядка, называется число

.

 

Определение 2.3.

  Последнее равенство вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

Пример 2.2.

Вычислить определитель .

Решение.

 

Определитель третьего порядка может быть преобразован следующим образом:

Пример 2.3.

Вычислить определитель .

Решение.

Определение 2.4.

(17)

Определение 2.5.

Обозначение: . Пример 2.4.Вычислите определитель Решение.

Определение 2.6.

. (18)   Пусть задана матрица A размером 4х4:

Свойства определителей

. Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).  

Задачи для самостоятельной работы

2.1. 2.2.   2.3. 2.4.

Обратная матрица. Ранг матрицы

Определение 3.1.

Квадратная матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство

, (22)

где – единичная матрица.

 

Определение 3.2.

Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если . Если , то матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема 3.1.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой

(23)

Определение 15.

Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных строк, и столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Замечание. Не путать с минором элемента!

Определение 3.3.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Обозначение: .

Определение 3.4.

Каждый отличный от нуля минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы, называется базисным минором.

 

Правило вычисления ранга матрицы

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор -го порядка , отличный…   .

Определение 3.5.

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца). 2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное… 3. Изменение порядка строк матрицы.

Определение 3.6.

Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (состоящие только из нулей) стоят ниже ненулевых строк (строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

 

Например: .

Пример 3.1.

Определить ранг матрицы

.

Решение.

Базисным минором, к примеру, является минор:

 

Теорема 3.2.

  Теорема 3.3.(о ступенчатой матрице). 1). Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой матрице.

Задачи для самостоятельной работы

 

Вычислить ранг матриц

1. 2.

3.

 

 

Система линейных алгебраических уравнений

 

Определение 4.1.

  (24) где

Определение 4.2.

1). Множество всех значений , подстановка которых в систему уравнений (24) каждое уравнение обращает в тождество, называется решением данной системы.

2). Если все свободные члены системы равны нулю, то есть , то система называется однородной.

Определение 4.3.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, если решение только одно, то система называется определенной, если решений множество, то система называется неопределенной. Если решений нет, то система несовместная.

Определение 4.4.

  Над системами можно производить следующие линейные преобразования: 1) менять уравнения местами;

Пример 4.1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений

1) методом Крамера, 2) матричным способом.

 

Решение.

1) Метод Крамера

Следовательно, система имеет решение.

2) Матричный способ

Найдем обратную матрицу А^-1:

1 шаг:

Следовательно, матрица имеет обратную.

 

2 шаг:

ищем алгебраические дополнения

элементов матрицы .

 

Составим матрицу из алгебраических дополнений

3 шаг: транспонируем матрицу

4 шаг:

 

Получаем ответ:

 

4.2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений с неизвестными (метод последовательного исключения переменных)

 

На практике чаще всего применяется метод Гаусса – метод построения решения систем линейных уравнений.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1) расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;

2) сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;

3) в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;

4) выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;

5) если , то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;

6) если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение системы.

 

Пример 4.2.Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

~~

 

~~

Таким образом,

– общее решение или (, , , ).

Пример 4.3.Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составляем расширенную матрицу , преобразуем ее так, чтобы вместо матрицы получить единичную, тогда вместо матрицы получим ответ.

~ 2^ая строка +1^ая, умноженная на (-2); 3^ая строка +1^ая, умноженная на (-3) ~~ меняем местами 2^ую и 3^ю строки ~~ 2^ую строку умножим на (-1) ~ ~ 3^я строка +2^ая, умноженная на 4 ~~ 3^ю строку делим на (-37) ~ ~ 2^ая строка +3^я, умноженная на 10; 1^ая строка +3^я, умноженная на 3 ~ ~ из 1^ой строки вычитаем 2^ую ~ .

Получаем ответ .

Теорема 4.1. (Кронекера-Капелли)Система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы, т.е.

 

.

 

Для совместных систем справедливы следующие следствия.

Следствие 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных , то система (24) имеет единственное решение.

Следствие 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных , то система (24) имеет бесконечное множество решений.

Пусть , переменных называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные называются свободными.

Решение системы (24), в котором все свободных переменных равны нулю, называется базисным.

Второй метод вычисления обратной матрицы.

,   т.е. присоединим к матрице единичную. Теперь с помощью элементарных преобразований (кроме перестановки строк местами)…

Задачи для самостоятельной работы

Решить системы уравнений методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса. 1. 2.  

Тренинг-тесты

1. Вычислить   а) –8; б) 8; с) 1; д) 0.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте правила сложения матриц и умножение матрицы на число. 2. Каким законом подчиняются эти операции? 3. Как определяется операция умножения двух матриц?

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 1.Задана система линейных алгебраических уравнений , где - квадратная матрица размера с действительными элементами (матрица коэффициентов),… 1) используя формулы Крамера, 2) с помощью обратной матрицы (матричный способ),

Литература

Основная

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Часть 1. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 2008.

2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Письменный Д.Т. (2009, 9-е изд., 608с.)

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов.

Дополнительная

4. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Лекции. Умнов А.Е. (МФТИ; 2004, 366с.) 5. Апатенок Р.Ф. Элементы линейной алгебры. Минск, 1977. 6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Высшая школа, 1990.