Тригонометрическая форма комплексного числа

Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и углом, который он образует с некоторым фиксированным направлением (полярная система координат), т. е. задать вектор полярными координатами (рис. 1.11).

Определение 1.21. Длина вектора, соответствующего комплексному числу z (или расстояние от начала системы координат до точки, изображающей комплексное число) называется модулем комплексного числа и обозначается |z| = r.

Определение 1.22.Радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох называется аргументом комплексного числа z и обозначается Аrg z = j.

Другими словами, аргумент комплексного числа – это угол между положительной полуосью Ох и лучом Oz.

Число ноль изображается нуль-вектором, для него модуль равен 0, аргумент нуля не определен. Для ненулевого комплексного числа z аргумент определяется с точностью до 2pk, где k – любое целое число.

Главным значение аргумента называется такое значение j, что
j Î (–p, p]. Часто главное значение аргумента обозначается аrg z. Главное значение аргумента обратного комплексного числа отличается знаком аргумента исходного, т. е. аrg = –аrg(z).

Для комплексного числа z = a + bi установим связь между числами a, b и r, j, т. е. между декартовыми и полярными координатами.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK (рис. 1.11), по теореме Пифагора имеем: OM² = OK² + MK² Þ r² = a² + b² Þ r = , a = r×cosj, b = r×sinj. Тогда z = a + b×i = r×cosj + r×sinj×i = r(cosj + i×sinj).

Определение 1.23. Выражение z = r(cosj + i×sinj) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Формулы перехода от алгебраической формы комплексного числа z = a + b×i к тригонометрической следующие:

r = , sinj = = , cosj = = .

Если a ≠ 0, то tgj = . Можно найти аргумент числа z, пользуясь правилом:

a > 0 Þ j = ,

a < 0 Þ j = + p,

a = 0 Þ 1) b > 0 Þ j = , 2) b < 0 Þ j = –.

Определение 1.24.r₁(cosj₁ + i×sinj₁) = r₂(cosj₂ + i×sinj₂) Û r₁ = r₂ и j₁ = j₂ + 2pk, k Î Z.

Пример 1.12. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: z₁ = – i, z₂ = –3i, z₃ = –8,
z₄ = –2(cos – i×sin),

Решение. а) z₁ = – i Þ a = , b = –1. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 2; т. к. a = > 0, то j = = = –.

Окончательно получаем тригонометрическую форму z₁ = – i =
= r(cosj + i×sinj) = 2(cos + i×sin).

б) z₂ = –3i Þ a = 0, b = –3. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 3; т. к. a = 0 и b < 0, то j = –.

Получаем z₂ = –3i = r(cosj + i×sinj) = 3(cos + i×sin).

в) z₃ = –8 Þ a = –8, b = 0. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 8; т. к. a = –8 < 0, то j = + p =
= + p = + p = 0 + p = p.

Тогда z₃ = –8 = r(cosj + i×sinj) = 8(cosp + i×sinp).

г) z₄ = –2(cos – i×sin) = –2cos + 2i×sinÞ a = –2cos, b = 2sin. Найдем модуль и аргумент данного числа: r = = = 2; т. к. a = –2cos < 0, то j = + p = + p = – + p = – + p =.

Тогда z₄ = –2(cos – i×sin) = r(cosj + i×sinj) = 2(cos + i×sin).