Показательная форма комплексного числа

Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйлер в 1740 г. опубликовал формулу, которая дает возможность записать комплексное число в показательной форме:

e^ij = cosj + i×sinj – формула Эйлера.

Тогда z = r(cosj + i×sinj) = r×e^ij – показательная форма записи комплексного числа, где r = |z|, j = arg z.

К комплексным числам в показательной форме применимы все правила действия над степенями. Пусть z₁ = r₁×, z₂ = r₂×, тогда

z₁×z₂ = r₁×r₂×,

= ,

zⁿ = rⁿ×e^inj,

= , где k = 0, 1, …, n – 1.

Пример 1.17. Представить комплексное число z = + i в показательной форме.

Решение. Имеем z = + i Þ a = , b = 1 Þ r = = = 2; т. к. a > 0, то j = = = . Тогда z = + i = r×e^ij = 2×.