ББК 22.174я73-5
ã Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013
ã КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013
 |
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................................... 6
1. Множества.............................................................................................. 7
1. 1. Множества и их элементы. Способы задания множеств................ 7
1.2. Подмножество. Диаграммы Эйлера – Венна................................ 10
1.3. Операции над множествами и их свойства.................................... 12
1.4. Метод математической индукции................................................... 18
1.5. Комплексные числа......................................................................... 19
2. Бинарные отношения.......................................................................... 30
2.1. Понятие отношения......................................................................... 30
2.2. Свойства бинарных отношений..................................................... 34
2.3. Отношение эквивалентности........................................................... 37
2.4. Функции........................................................................................... 40
3. Матрицы и действия над ними.......................................................... 41
3.1. Общие понятия................................................................................ 41
3.2. Основные операции над матрицами и их свойства....................... 44
3.2.1. Сложение однотипных матриц............................................ 44
3.2.2. Умножение матрицы на действительное число................... 44
3.2.3. Умножение согласованных матриц..................................... 45
3.3. Транспонирование матриц............................................................. 48
4. Определители квадратных матриц................................................... 48
4.1. Определители матриц второго и третьего порядка...................... 48
4.2. Определитель матрицы n-го порядка............................................ 51
4.3. Свойства определителей................................................................. 52
4.4. Практическое вычисление определителей..................................... 53
5. Ранг матрицы. Обратная матрица.................................................... 55
5.1. Понятие ранга матрицы.................................................................. 55
5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров........ 56
5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований 59
5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения................. 60
6. Системы линейных уравнений.......................................................... 63
6.1. Основные понятия и определения.................................................. 63
6.2. Методы решения систем линейных уравнений.............................. 65
6.2.1. Метод Крамера.................................................................... 65
6.2.1. Метод обратной матрицы.................................................... 67
6.2.1. Метод Гаусса........................................................................ 68
6.3. Исследование системы линейных уравнений................................. 73
6.4. Однородные системы линейных уравнений.................................. 74
7. Арифметическое n-мерное векторное пространство....................... 78
7.1. Основные понятия........................................................................... 78
7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов........... 79
7.3. Базис и ранг системы векторов....................................................... 83
8. Векторные (линейные) пространства ............................................... 86
8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем 86
8.2. Подпространства. Линейные многообразия ................................. 89
8.3. Базис и размерность векторного пространства............................. 91
8.3.1. Конечномерные векторные пространства........................... 91
8.3.2. Базисы и размерности подпространств.............................. 93
8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса........... 95
8.3.4. Координаты вектора в различных базисах........................ 97
8.4. Евклидовы векторные пространства.............................................. 99
9. Линейные операторы ...................................................................... 106
9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов.... 106
9.2. Матрица линейного оператора.................................................... 110
9.3. Подобные матрицы....................................................................... 112
9.4. Действия над линейными операторами........................................ 113
9.5. Ядро и образ линейного оператора............................................. 115
9.6. Обратимые линейные операторы ................................................ 116
9.7. Собственные векторы линейного оператора .............................. 117
9.7.1. Свойства собственных векторов ....................................... 118
9.7.2. Характеристический многочлен матрицы ....................... 119
9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора 120
9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора 121
9.7.5. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице 123
10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора 126
10.1. Понятие λ-матрицы..................................................................... 126
10.2. Жорданова нормальная форма.................................................. 129
10.3. Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме....... 130
11. Билинейные и квадратичные формы.......................................... 133
10.1. Билинейные формы..................................................................... 133
10.2. Квадратичные формы................................................................. 135
Заключение............................................................................................. 146
Библиографический список................................................................. 147
 | |||
 |
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки: 010400.62 – «Прикладная математика и информатика», 011200 – «Физика», 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, Информатика и ИКТ, 080500.62 – «Бизнес-информатика», 080100.62 «Экономика» различных профилей.
В настоящем учебном пособии рассматриваются элементы следующих разделов алгебры: теория множеств, матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, комплексные числа, алгебраические системы, векторные пространства, линейные операторы.
Преподавание высшей математики студентам-бакалаврам имеет свои особенности в силу, прежде всего, других по количеству часов учебных планов. Существующие учебники по линейной алгебре очень объемны, и поэтому студент (бакалавр) не всегда может найти в них нужную информацию, вычленить главное. Данное учебно-методическое пособие поможет обучающемся в лучшем усвоении и закреплении теоретического и практического материала по линейной алгебре.
Для краткой записи утверждений будем использовать следующие обозначения символов:
" (квантор общности) читается «для любого», «для каждого», «для всех»;
$ (квантор существования) – «найдется», «существует», «хотя бы для одного»;
Þ (импликация, знак логического следования) – «если …, то …», «следует»;
Û (эквивалентность, знак логической равносильности) – «тогда и только тогда».