Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. умножение строки матрицы на число, отличное от нуля;

2. прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольное число;

3. вычеркивание нулевой строки.

Замечание 5.3. С помощью преобразований 1 и 2 можно поменять местами любые две строки (столбца) матрицы.

Определение 5.5. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид: , a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, r, r £ k.

Замечание 5.4. Условие r £ k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Теорема 5.2.Применение к произвольной матрице цепочки элементарных преобразований не меняет ее ранга.

Теорема 5.3.Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Теорема 5.4.Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Определение 5.6. Первый ненулевой элемент строки называется ее ведущим элементом.

Из этих теорем следует практический способ нахождения ранга матрицы: с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду и определить количество ее ненулевых строк.·

Пример 5.3. Найти ранг матрицы А = с помощью элементарных преобразований.

Решение. Приводим матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Выберем в 1-ой строке ведущий элемент. Это (–1). В столбце под этим элементом следует получить нули. Для этого к 2-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на 2, а к 3-ей строке прибавим 1-ую, умноженную на 3; получим матрицу: . Выбираем ведущий элемент во второй строке и получим нули в столбце под ним: к 3-ей строке прибавим 2-ую, умноженную на (–2), в результате получим следующую матрицу: . Получена матрица ступенчатого вида, в которой две ненулевые строки, следовательно, ранг исходной равен 2, т. е. rang A = 2.