Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: А×Х = В.

В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не равным нулю. Это означает, что для матрицы А существует обратная матрица А^–1. Умножим обе части матричного равенства на матрицу А^–1 слева. Получим А^–1×(А×Х) = А^–1×В. Преобразуем данной выражение:

(А^–1×А)×Х = А^–1×В;

E×Х = А^–1×В;

Х = А^–1×В.

Вывод: если для системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель основной матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Х = А^–1×В, где А – основная матрица данной системы, В – столбец свободных членов.

Пример 6.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Здесь А = , Х = , B = . Найдем матрицу
А^–1 любым способом. Имеем А^–1 = . Теперь можно вычислить столбец неизвестных X.

X = = × = = . Значит x₁ = 1, x₂ = 1.

Ответ: (1; 1).

Очевидно, что применение этих методов связано с выполнением определенных условий и решить с их помощью произвольную систему невозможно.