Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия.
Определение 6.7. Уравнение вида 0×x1 + 0×x2 + ... + 0×xn = 0 называется нулевым.
Решением такого уравнения является любой вектор.
Определение 6.8. Уравнение вида 0×x1 + 0×x2 + ... + 0×xn = b , где b ≠ 0, называется несовместным (или противоречивым).
У несовместного уравнения решений нет.
Определение 6.9. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие ее преобразования:
1. умножение любого уравнения на число, не равное нулю;
2. прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на произвольное число;
3. вычеркивание нулевого уравнения.
Замечание 6.1. С помощью преобразований 1 и 2 уравнения системы можно поменять местами.
Теорема 6.2. Цепочка элементарных преобразований переводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.