Определение 7.13. Системой единичных векторов пространства Rn называется система векторов e1, e2, …, en, где e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), …, en = (0, 0, …, 1).
Выпишем единичные векторы для пространств R3 и R4:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1);
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1).
Из свойств линейной зависимости следует, что единичная система векторов линейно независима. Любой вектор а = (a1, a2, …, an) пространства Rn может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов. Например, если а = (–2, 4, 7), то а = (–2)e1 + 4e2 + 7e3.
Вывод. В пространстве Rn существует n линейно независимых векторов, через которые линейно выражаются все векторы пространства Rn.