Две теоремы о линейной зависимости

Теорема 7.1. Если большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима.

Сформулируем эту теорему подробнее: пусть а₁, а₂, …, а_m и b₁, b₂, …, b_k две системы векторов и m > k, то есть первая система большая. Если а₁, а₂, …, а_m Î L(b₁, b₂, …, b_k), то система векторов а₁, а₂, …, а_m линейно зависима.

Теорема 7.2. В пространстве Rⁿ любая система, состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

Это следует из того, что в Rⁿ любая система выражается через систему e₁, e₂, …, e_n.

Следствие. Если а₁, а₂, …, а_m Î L(b₁, b₂, …, b_k) и система а₁, а₂, …, а_m линейно независима, то m £ k.