Разность.

Определение 1.11.Разностью множеств А и В называется множество А В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и одновременно не принадлежат множеству В.

Таким образом, по определению 1.11, А В = {x | x Î А и х Ï В}. Разность множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.4.

Замечание 1.5.Если B Í A, то в этом случае разность А В называют дополнением B до A.

Определим частные случаи разности.

Определение 1.12. Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество A D B (или А Å В), состоящее из элементов объединения этих множеств, но не входящих в пересечение этих множеств (рис. 1.5).

Таким образом, по определению, A D B = (A È B) (A Ç B) = = (A B) È (B A) = {x | (x Î А и х Ï В) или (x Î B и х Ï A)}.

Определение 1.13. Дополнением множества А (до универсального множества U) называется множество (или A¢) равное разности U А.

Дополнение множества А до универсального множества U заштриховано и изображено на рис. 1.6.

Таким образом, по определению, = U А = {x | x Î U и х Ï А} или = {x | х Ï А}.

Пример 1.5. Пусть A = {m, n, p, k, l}, B = {p, r, s, n}. Найти: A È B, A Ç B, A B, B A, A D B.

Решение.

A È B = {m, n, p, k, l, r, s}; A Ç B = {p, n}; A B = {m, k, l}; B A = {r, s};

A D B = { m, k, l, r, s}.

Пример 1.6. Пусть A = {х | х Î R, –4 £ х < 1}, B = {х | х Î R, 0 £ х £ 4}. Найти: A È B, A Ç B, A B, B A, A D B, , .

Решение.

A È B = {х | х Î R, –4 £ х £ 4};

A Ç B = {х | х Î R, 0 £ х < 1};

A B = {х | х Î R, –4 £ х < 0};

B A = {х | х Î R, 1 £ х £ 4};

A D B = {х | х Î R, –4 £ х < 0, 1 £ х £ 4};

= {х | х Î R, х < –4, х ³ 1};

= {х | х Î R, х < 0, х > 4}.