Дадим два равносильных определения ранга системы векторов.
Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы.
Определение 7.17.Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов в этой системе.
Если дана система векторов а1, а2, …, аm пространства Rn, то ранг r этой системы не больше количества векторов в ней и не больше размерности пространства Rn, то есть r £ m и r £ n, или r £ min(m, n).
Ранг линейно независимой системы векторов равен количеству векторов в ней.
Ранг ступенчатой системы векторов равен количеству векторов в ней.
Лемма 7.1(о ранге системы векторов). Ранг системы векторов не изменится, если к ней добавить (или удалить) вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.
На основании этой леммы можно доказать теорему.
Теорема 7.5. Ранг системы векторов не меняется при следующих преобразованиях, называемых элементарными:
1) умножение вектора на число, не равное нулю;
2) прибавление к одному вектору другого, умноженного на произвольное число;
3) удаление нулевого вектора.
С помощью этих преобразований векторы системы можно поменять местами.