Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел.
Определение 8.1. Множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем P, если для каждых двух элементов a, b Î V определена сумма a + b Î V,и для каждого k Î P и для каждого a Î V определено произведение k×a Î V, причем справедливы следующие равенства: для любых a, b, c Î V и любых k, l Î P
1) a + b = b + a;
2) a + (b + c) = (a + b) + c;
3) $ о Î V : a + о = a;
4) " а, $ (–а) : a + (–a) = о;
5) 1×a = a, 1 Î P;
6) k×(l×a) = l×(k×a) = (l×k)×a;
7) (k + l)×a = k×a + l×a;
8) k×(a + b) = k×a + k×b.
Элементы векторного пространства принято называть векторами, о - нулевой вектор; (–а) – вектор, противоположный вектору а; 1 Î P – единица поля P.
Примеры 8.1. Приведем примеры векторных пространств.
1) Rn – арифметическое n-мерное векторное пространство.
2) Множество матриц одного итого же размера с действительными коэффициентами Rm´n, сложение матриц и умножение их на действительное число определены.
3) R[x] – множество многочленов с действительными коэффициентами, сложение многочленов и умножение их на действительное число известны.
4) R[x](£n) – множество многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей n.
5) Множество направленных отрезков плоскости или пространства с общим началом в начале координат. Сложение таких отрезков осуществляется по правилу параллелограмма, умножение по известному правилу.
6) R(a, b) – множество функций определенных, дифференцируемых на отрезке [a, b].
Если числа в определении 8.1 k, l … брать из поля действительных (вещественных) чисел R, т. е. Р = R, то пространство называется вещественным векторным (линейным) пространством; если же из поля комплексных чисел, то приходим к понятию комплексного линейного пространства.