Пересечение и сумма подпространств

Пусть V – векторное пространство над полем P, L₁ и L₂ – его подпространства.

Определение 8.3. Пересечением подпространств называется множество L₁ Ç L₂ = {x | x Î L₁ и x Î L₂}.

Теорема 8.2. Пересечение подпространств является подпространством.

Определение 8.4. Суммой подпространств L₁ и L₂ называется множество L₁ + L₂ = {x = x₁ + x₂ | x₁ Î L₁ и x₂ Î L₂}.

Теорема 8.3. Сумма подпространств является подпространством.

Определение 8.5.Сумма подпространств L₁ и L₂ называется прямой, если каждый вектор из суммы L₁ + L₂ может быть единственным образом представлен в виде суммы векторов из L₁ и L₂.

Прямая сумма подпространств обозначается символом L₁ Å L₂.

Теорема 8.4. Сумма подпространств L₁ и L₂ является прямой тогда и только тогда, когда их пересечение состоит только из нулевого вектора, т. е. L₁ Ç L₂ = {о}.