Декартовое произведение (или прямое произведение).

Определение 1.14. Упорядоченной парой (или парой) (a, b) называется два элемента a, b взятые в определенном порядке. Пары (a₁, b₁) и (a₂, b₂) равны тогда и только тогда, когда a₁ = a₂ и b₁ = b₂.

Определение 1.15. Декартовым произведение множеств А и В называется множество А ´ В, состоящее из всех упорядоченных пар (a, b), где a Î A и b Î B.

То есть, по определению, A ´ B = {(x, y) | x Î А и y Î В}.

Определение 1.16. Произведение А ´ A называется декартовым квадратом.

Пример 1.7.Пусть A = {a, b, c} и B = {5, 6}. Тогда

A ´ B = {(a, 5), (a, 6), (b, 5), (b, 6), (c, 5), (c, 6)};

B ´ A = {(5, a), (6, a), (5, b), (6, b), (5, c), (6, c)};

A ´ A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b) (c, c),}; B ´ B = {(5, 5), (6, 6), (5, 6), (6, 5)}.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию прямого произведения двух числовых множеств A и B – множество всех точек координатной плоскости Oxy с координатами (x, y) такими, что x Î A, а y Î B. Тогда для двух заданных числовых множеств можно наглядно изображать их прямое произведение и, обратно, по изображению прямого произведения двух множеств определять их элементы.

Пример 1.8.Изобразить на координатной плоскости Oxy множество A ´ B, если:

а) A = {3, 5, 7}, B = {2, 4};

б) A = {3, 5, 7}, B = [2; 4], то есть B = {х | х Î R, 2 £ х £ 4};

в) A = [3, 7], B = [2; 4].

Решение. Множество A ´ B изображено на рис. 1.7.

Пример 1.9.По изображению прямого произведения A ´ B (рис. 1.8) найти множества A и B.

Решение.

а) A = {1, 3, 4, 5}, B = {3}; б) A = [1;5], B = (1;2]; в) A = R, B = [2;5).

Пример 1.10. Пусть A = {х | х Î N, 2 < х £ 6}, B = {х | х Î N, 1 < х < 4}, C = {х | х Î N, х² – 4 = 0}. Из каких элементов состоят множества (A Ç B) È (B È C), C ´ B, B ´ C?

Решение. Перепишем множества А, В и С, перечислив их элементы: A = {3, 4, 5, 6}, B = {2, 3}, C = {2}. Тогда A Ç B = {3}, B È C = {2, 3}, а значит (A Ç B) È (B È C) = {2, 3}; C ´ B = {(2, 2), (2, 3)} и B ´ C = {(2, 2), (3, 2)}.