Скалярное произведение в координатах
В евклидовом векторном пространстве V размерности n задан базис e1, e2, …, en. Векторы x и y разложены по векторам базиса: x = x1e1 + x2e2 + … + xnen, y = y1e1 + y2e2 + … + ynen. Найдем скалярное произведение этих векторов
(x, y) = (x1e1 + x2e2 + … + xnen)(y1e1 + y2e2 + … + ynen) =
= x1 y1(e1, e1) + x1 y2(e1, e2) + … + x1 yn(e1, en) + … + xn yn(en, en) =
= 
.
Очевидно, что для задания скалярного произведения, необходимо задать матрицу A = 
, где aij = (ei, ej). Если (x1, x2, …, xn) – строка координат вектора x, а 
– столбец координат вектора y, то (x, y) = (x1, x2, …, xn)××.
Матрица A не может быть произвольной, иначе не станут выполняться аксиомы евклидова векторного пространства. Эта матрица должна быть симметрической и должна задавать положительно определенную квадратичную форму. Простейшим примером такой матрицы является матрица E. При этом (x, y) = x1y1 + x2y2 + … + xnyn, то есть скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.