Определение 8.21. Базис евклидова векторного пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, то есть если а1, а2, …, аn – ортогональный базис пространства, то (аi, аj) = 0 при i ≠ j, i, j = 1, 2, …, n.
Определение 8.22. Ортогональный базис называется ортонормированным, если каждый вектор базиса нормирован, то есть если e1, e2, …, en – ортонормированный базис, то (ei, ej) = 0 при i ≠ j и (ei, ei) = 1, i, j = 1, 2, …, n.
Докажем возможность существования ортонормированного базиса.
Теорема 8.11. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
Доказательство. Пусть система векторов а1, а2, …, аk – ненулевая и ортогональная, то есть аi ≠ о, (аi, аj) = 0 при i ≠ j, i, j = 1, 2, …, k. Покажем, что равенство a1а1 + a2а2 + … + akаk = о возможно лишь тогда, когда a1 = a2 = … = ak = 0. Умножим это равенство скалярно на а1:
(a1а1 + a2а2 + … + akаk, а1) = (о, а1) Þ
a1(а1, а1) + a2(а2, а1) + … + ak(аk, а1) = 0.
В силу ортогональности системы (т. е. (а2, а1) = 0, …, (аk, а1) = 0) получим a1(а1, а1) = 0 и, так как а1 ≠ о (т. е. (а1, а1) ≠ 0), то a1 = 0. Аналогично доказывается, что a2 = 0, …, ak = 0 (умножая исходное равенство по очереди на a2, a3, …, ak), следовательно, система векторов а1, а2, …, аk линейно независима. Теорема доказана.