Процесс ортогонализации

Теорема 8.12. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть а₁, а₂, …, а_n – произвольный базис евклидова пространства Е. Доказательство заключатся в описании алгоритма построения ортогонального базиса по данному базису. Этот алгоритм называется процессом ортогонализации. Пусть b₁ = a₁, b₁ ≠ 0 (т. к. а₁ ≠ 0). Положим b₂ = a₂ + a₁b₁. Подберем коэффициент a₁ так, чтобы b₂ ≠ 0 стал ортогонален b₁;

(b₁, b₂) = 0 Þ (b₁, a₂ + a₁b₁) = 0 Þ (a₂ + a₁b₁, b₁) = 0 Þ (a₂, b₁) + a₁(b₁, b₁) = 0, т. к. b₁ ≠ 0, то (b₁, b₁) ≠ 0 Þ a₁ = . Вектор b₂ не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией линейно независимых векторов a₁ и a₂.

Положим, далее b₃ = a₃ + b₁b₁ + b₂b₂. Подберем b₁ и b₂ так, чтобы b₃ ≠ 0 оказался ортогонален b₁ и b₂, для чего должны выполняться условия (b₁, b₃) = 0, (b₂, b₃) = 0. Выполняя преобразования, получим, что b₁ = , b₂ = . Вектор b₃ не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией векторов а₁, а₂, а₃.

Продолжая этот процесс, получим систему векторов b₁, b₂, …, b_n, и так как эти векторы ненулевые и попарно ортогональны, то по теореме 8.11 они линейно независимы, а значит образуют ортогональный базис.

Нормируя ортогональный базис b₁, b₂, …, b_n, получим ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства:

e₁ = ×b₁, e₂ = ×b₂, …, e_n = ×b_n.

Пример 8.12. Применить процесс ортогонализации к векторам а₁ = (2, –2, –2, 2), а₂ = (3, –1, –1, 3), а₃ = (2, –2, 0, 4).

Решение. Это задание можно сформулировать так: по данному базису подпространства построить ортогональный базис.

b₁ = а₁, b₁ = (2, –2, –2, 2);

b₂ = a₂ + a₁b₁, a₁ = = = = –1. Тогда b₂ = a₂ – b₁ = (1, 1, 1, 1).

b₃ = a₃ + b₁b₁ + b₂b₂, b₁ = = = –1, b₂ = = = –1. Тогда b₃ = a₃ – b₁ – b₂ = (–1, –1, 1, 1).