Свойства операций над множествами
Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств. Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть задано универсальное множество U. Тогда (" A, B, C) A, B, C Í U выполняются следующие свойства:
1. идемпотентность:
A È A = A, A Ç A = A;
2. коммутативность: A È B = B È A, A Ç B = B Ç A;
3. ассоциативность: A È (B È C) = (A È B) È C,
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C;
4. дистрибутивность:
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) (дистрибутивность È относительно Ç),
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) (дистрибутивность Ç относительно È);
5. свойства нуля: A È Æ = A, A Ç Æ = Æ;
6. свойства единицы: A È U = U, A Ç U = A;
7. поглощение: (A Ç B) È A = A, (A È B) Ç A = A;
8. инволютивность (свойство двойного дополнения): 
= A;
9. законы де Моргана[4]: 
, 
;
10. закон включения: А Ì B Û 
Ì 
;
11. свойства дополнения: А È = U, А Ç = Æ;
12. выражение для разности: А В = А Ç .
Другие соотношения между множествами могут быть выведены на основе вышеприведенных свойств по правилам алгебры логики.
Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3. В качестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).
Пусть X = A È (B Ç C), Y = (A È B) Ç (A È C). Надо доказать, что множества X и Y равны, то есть X Í Y и Y Í X. Множество X Í Y, если каждый элемент множества X принадлежит множеству Y. Пусть x Î X Þ (x Î A) или (x Î B Ç C) тогда
· если x Î A, то x Î A È B и x Î A È C, следовательно, x Î Y;
· если x Î B Ç C, то x Î B и x Î C Þ x Î A È B и x Î A È C, следовательно x Î Y.
Из произвольности элемента x следует, что X Í Y.
Предложим теперь, что y Î Y; то есть y Î (A È B) Ç (A È C), тогда y Î A È B и y Î A È C. Возможны два случая:
· если y Ï A, то y Î B и y Î C, значит y Î B Ç C; следовательно, y Î A È (B Ç C) Þ y Î X;
· если y Î A, то y Î A È (B Ç C) = X.
Из произвольности элемента y вытекает, что Y Í X.
Таким образом, получили равенство множеств X = Y.