Характеристический многочлен матрицы

Дана матрица A Î Р^n´n (или A Î R^n´n).

Определение 9.14. Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен, зависящий от λ и равный |A – lE|, т. е. многочлен f(λ) = |A – lE|, где E – единичная матрица таково же порядка что и А.

Пример 9.6. Найти характеристический многочлен матрицы A = .

Решение. Составим определитель матрицы A – lE и вычислим его

|A – lE| = = =

= (2 – λ)×(–1)^{2 + 2}× · = (2 – λ)((1 – l)(–1 – l) – 8) =

= (2 – λ)(λ – 3)(λ + 3).

Определение 9.15. Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение |A – lE| = 0.

Определение 9.16. Собственными значениями (собственными числами) матрицы A называются корни ее характеристического уравнения.

Найдем собственные значения матрицы из примера 9.6:
(2 – λ)(λ – 3)(λ + 3) = 0. Получим: l₁ = 2, l₂ = 3, l₃ = –3.

Теорема 9.12. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

Доказательство. Пусть матрицы А и В подобны, то есть А = T ^–1×В×Т. Тогда

|A – lE| = |T ^–1×В×Т – lT ^–1×Е×Т | = |T ^–1(В – lЕ)×Т | = |T ^–1|×|В – lЕ|×|Т | =
= |T ^–1|×|Т |×|В – lЕ| = |T ^–1×Т |×|В – lЕ| = |E|×|В – lЕ| = 1×|В – lЕ| = |В – lЕ|.

Так как характеристические многочлены равны, то совпадают и множества собственных значений подобных матриц А и В.

Следствие. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от базиса, в котором найдена эта матрица (матрицы линейного оператора, найденные в различных базисах, подобны).