Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме

 

Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали.

Приведем матрицу A(λ) = A – λE к каноническому виду с помощью элементарных преобразований.

A – λE = .

Отличные от единицы многочлены en–j+1(λ), …, en–1(λ), en(λ) называют инвариантными множителями матрицы A(λ). Среди них нет многочленов равных нулю, сумма степеней всех этих многочленов равна n, и все они раскладываются на линейные множители над множеством комплексных чисел. Пусть en–j+1(λ) раскладывается в произведение следующих множителей: , , …, . Назовем эти множители элементарными делителями многочлена en–j+1(λ).

Определение 10.7. Элементарными делителями матрицы A(λ) называются элементарные делители всех многочленов en–j+1(λ), …, en–1(λ), en(λ).

Выпишем жорданову матрицу J порядка n, составленную из жордановых клеток определяемых следующим образом: каждому элементарному делителю матрицы A(λ) ставим в соответствие жорданову клетку порядка kij, относящуюся к числу li.

Пусть для некоторой матрицы порядка 9 характеристическая матрица A – λE приведена к каноническому виду.

A – λE = .

e1 = e2 = e3 = e4 = e5 = e6 = 1, e7 = l – 2, e8 = (l – 2)(l – 5)2, e9 = (l – 2)3(l – 5)2 – инвариантные множители матрицы A – λE, (l – 2), (l – 2), (l – 5)2,
(l – 2)3, (l – 5)2 – элементарные делители матрицы A – λE.

Получаем: две клетки порядка 1, относящиеся к числу 2, две клетки порядка 2, относящиеся к числу 5 , одну клетку порядка 3, относящуюся к числу 2, Выпишем жорданову форму матрицы A

Алгоритм приведения матрицы A к жордановой форме

1. Составить характеристическую матрицу A – λE.

2. Привести эту матрицу к канонической форме с помощью элементарных преобразований.

3. Разложить диагональные многочлены на линейные множители.

4. Найти элементарные делители и по ним выписать жорданову форму матрицы A.

Для того чтобы заданная матрица была подобна диагональной матрице, необходимо и достаточно, чтобы все элементарные делители ее характеристической матрицы были первой степени.

Пример 10.4. Привести к жордановой форме матрицу A = .

Решение. с помощью элементарных преобразований приводим матрицу A –λE к следующему виду: A –λE = ~
~ … ~ . Инвариантные множители этой матрицы: e1 = 1, e2 = 1, e3 = (l – 1)(l – 2)2; элементарные делители будут (l – 1),
(l – 2)2.

По найденным элементарным делителям выписываем жорданову форму исходной матрицы .