Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы

Пусть в векторном пространстве V заданы два базиса e = {e₁, e₂, …, e_n} и f = {f₁, f₂, …, f_n}. Пусть A(e) = (а_ij) и A(f) = (b_ij) – матрицы билинейной формы A в указанных базисах.

Теорема 11.1.Матрицы A(e) и A(f) билинейной формы A(x, y) в базисах {e} и {f} связаны соотношением

A(f) = C^t×A(e)×C, (*),

где C – матрица перехода от базиса {e} к базису {f}, а C^t –транспонированная матрица C.

Следствие. Ранг матрицы A(f) равен рангу матрицы A(e).

Это утверждение следует из равенства (*): так как С – матрица перехода от одного базиса к другому, то матрица С и матрица C^t– невырожденные, поэтому умножение на них матрицы A(e) не меняет ее ранга.

Определение 11.4. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном векторном пространстве V , называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства V.

Определение 11.5. Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства V и вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства V.