Системы линейных уравнений

 

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.Рассмотрим систему:

,

где

- главный определитель;

, - вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (D₁) и при y (D₂) колонкой свободных членов.

Решение системы по правилу Крамера имеет вид:

.

 

Для систем трех уравнений с тремя неизвестными

правило Крамера имеет вид:

,

где

 

Матричный метод решения систем линейных уравнений.Для систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными

введем следующие обозначения:

, .

В этих обозначениях система уравнений примет вид: .

Если определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу , которая может быть вычислена по следующей формуле:

, где ─ алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A.

Умножим обе части матричного уравнения слева на :

 

- решение системы.

 

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийзаключается в приведении системы уравнений к треугольному виду путем элементарных преобразований уравнений системы, к которым относятся:

- перестановка двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на ненулевое число;

- прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения.

Две системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Элементарные преобразования переводят данную систему в эквивалентную ей.