Как уже отмечали, что производные называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные, так называемые повторные, производные по x, и y или смешанные частные производные.
Так, частные производных второго обозначаются следующим образом:
или ; или ;
или ; или ;.
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции z=f(x, y) имеем:
, Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
,
;
;
.
5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называютсявторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются zxx , zyy', zxy или. Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная . Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности
вычислялись частные производные по x и по y.