Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в точке
Так, предположим, что х= . Получим f( Тогда из уравнения (1) следует, что Значит f(
Теперь дифференцируем f(x) и .
(4)
Далее берём производные второго порядка:
); из равенства (3) (5)
Полагаях = , получим (6)
Итак, продолжая дифференцировать последовательно третий раз, четвёртый и т.д., получим: (8)
Уравнение (8) называется формулой Тейлора,
где -остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
Если разложение функции осуществлять в окрестности точки х=0, то полученный ряд будет представлен более простой и удобной для работы уравнением и называется формулой Маклорена или рядом Маклорена:
f(x)= f(