Производная
Здесь в логарифм вложена функция синус. Поэтом в начале берём производную от логарифма, а затем производную от аргумента, т.е. от синуса.
Пример двойного вложения. = =
Другие примеры
Найти производную функции:
1.у= =28
Здесь главной является степенная функция. Соответственно производня берются по правилам степенной функции:
2.Найти производную. Здесь в символах u(v) главной является функция arctg, а аргументом является , поэтому по таблице производных распишем:
=
= =
= .
7. Найти производную функции y= . Число 22 являтся основанием показательной функции.
Это есть показательная функция, которая дифференцируется по правилу:
;
= 3lnsin2x+3x
Производная функции, заданная параметрически
Пусть задана функция y=f(x) через параметр t:
x=x(t) и y=y(t). Необходимо определить производную . Выразим эту производную через отношения дифференциалов:
.Тогда по определению предела функции разность (1)
(величина y линейно относительно . Поэтому при оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и
. Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение (2)
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают dy или df(x).
Следовательно, dy=y’ или df(x)=f’(x) (3)
Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину .
Поскольку производная - это приращение ординаты Y точки касательной
к графику функции y=f(x), когда абсцисса точки касательной получает приращение :
Рис.1Дифференциал равен приращению ординаты касательной
Примеры Найти дифференциалы функций:
1) y= 2) y= 3) y=lnx 4) y=ln( )
Решение.
Применяя правила дифференцирования степенной и логарифмической функций,
находим:
1) dy=6 ; 2) dy=3 3) dy= ; 4) dy=
Свойства дифференциала
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
dc=0 (С – постоянная величина)