1. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
т.е. при раскрытии неопределенностей вида или можно использовать формулу:
.
Пример.
= =
Пример: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;
;
Пример: Найти предел .
; ;
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел .
; ;
; ;
; ;
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
Пример: Найти предел .
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
;
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример: Найти предел .
Здесь y = xx, lny = xlnx.
Тогда .
Следовательно
Пример: Найти предел .
; - получили неопределенность. Применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;